Analysis Beispiele

$\int x^{2} {(3 + x)}^{2} d x$

Schritt 1

Multipliziere $x^{2} {(3 + x)}^{2}$ aus.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(3 + x)}^{2}$ als $(3 + x) (3 + x)$ um.

$\int x^{2} ((3 + x) (3 + x)) d x$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (3 (3 + x) + x (3 + x)) d x$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x + x (3 + x)) d x$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x + x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x) + x^{2} (x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (3 \cdot 3) + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Schritt 1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (3 \cdot 3) + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Schritt 1.8

Bewege $x^{2}$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Schritt 1.9

Stelle $x^{2}$ und $3$ um.

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Schritt 1.10

Stelle $x$ und $3$ um.

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + x^{2} (3 \cdot x) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Schritt 1.11

Stelle $x^{2}$ und $3$ um.

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + 3 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (x \cdot x) d x$

Schritt 1.12

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{2} x + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Schritt 1.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Schritt 1.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{2 + 1} + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Schritt 1.15

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Schritt 1.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) + x^{2} x \cdot x d x$

Schritt 1.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2 + 1} + x^{2} x \cdot x d x$

Schritt 1.18

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} x \cdot x d x$

Schritt 1.19

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} x^{1} x d x$

Schritt 1.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2 + 1} x d x$

Schritt 1.21

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} x d x$

Schritt 1.22

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} x^{1} d x$

Schritt 1.23

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3 + 1} d x$

Schritt 1.24

Addiere $3$ und $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{4} d x$

Schritt 1.25

Addiere $3 x^{3}$ und $3 x^{3}$ .

$\int 9 x^{2} + 6 x^{3} + x^{4} d x$

Schritt 1.26

Stelle $6 x^{3}$ und $x^{4}$ um.

$\int 9 x^{2} + x^{4} + 6 x^{3} d x$

Schritt 1.27

Bewege $9 x^{2}$ .

$\int x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} d x$

$\int x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 6 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Schritt 4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 \int x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 9 x^{2} d x$

Schritt 6

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 \int x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 9 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 9 \frac{x^{3}}{3} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $9$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{9 x^{3}}{3} + C$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 8.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3} + C$

Schritt 8.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3 (1)} + C$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Schritt 8.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{3}}{1} + C$

Schritt 8.2.3.2.4

Dividiere $3 x^{3}$ durch $1$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3} + C$

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$