Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 - 4 x^{2}$ . Dann ist $d u = - 8 x d x$ , folglich $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 - 4 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$0 - 8 x$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $8 x$ von $0$ .

$- 8 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - 4 x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - 4 x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Schritt 2.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Schritt 2.5.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Schritt 2.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Schritt 2.5.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.5.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{1}{4})$ als $- (\frac{1}{4})$ um.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Schritt 2.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Schritt 2.5.4

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Schritt 3.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$8 (- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$- 8 (\frac{1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $- 8$ .

$\frac{- 8}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $8$ .

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.1.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 7.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 7.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 7.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $\frac{3}{4}$ und $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Schritt 10.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Schritt 10.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Schritt 10.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Schritt 10.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)$

Schritt 10.1.2.4

Berechne den Exponenten.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Schritt 10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Schritt 10.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- (3^{\frac{1}{2}} - 2)$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3^{\frac{1}{2}} - - 2$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Dezimalform:

$0.26794919 \dots$

Schritt 12