Analysis Beispiele

$1 + 4 x^{3} = 5 y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (1 + 4 x^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 4 (3 x^{2})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$0 + 12 x^{2}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$10 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$12 x^{2} = 10 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $10 y y' = 12 x^{2}$ um.

$10 y y' = 12 x^{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $10 y y' = 12 x^{2}$ durch $10 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y y' = 12 x^{2}$ durch $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{12 x^{2}}{10 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{12 x^{2}}{10 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{12 x^{2}}{10 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{12 x^{2}}{10 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{12 x^{2}}{10 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $10$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 (6 x^{2})}{10 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (6 x^{2})}{2 (5 y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (6 x^{2})}{2 (5 y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{6 x^{2}}{5 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{5 y}$