Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x + 3 + 5 x^{3}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x + 3 + 5 x^{3} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x d x + \int 3 d x + \int 5 x^{3} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x d x + \int 3 d x + \int 5 x^{3} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x + \int 5 x^{3} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C + \int 5 x^{3} d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \int 5 x^{3} d x$

Schritt 8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + 5 \int x^{3} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$2 x^{2} + 3 x + 5 \frac{x^{4}}{4} + C$

Schritt 10.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{x^{4}}{4}$ .

$2 x^{2} + 3 x + \frac{5 x^{4}}{4} + C$

Schritt 10.3.2

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} + 3 x + \frac{5}{4} x^{4} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x + 3 + 5 x^{3}$ .

$F (x) =$ $2 x^{2} + 3 x + \frac{5}{4} x^{4} + C$