Analysis Beispiele

$\frac{1}{1 + \sin (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ als ${(1 + \sin (x))}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sin (x))}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \sin (x)$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \cos (x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cos (x)$

Schritt 5.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$