Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}} d x$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{3}} \cdot (d x) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $d$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d}{x^{3}} \cdot x d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{d}{x^{3}}$ und $x$ .

$\int \frac{d x}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $d x$ heraus.

$\int \frac{x d}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x d}{x \cdot x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x d}{x \cdot x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{d}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$d \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d \int x^{- 2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$d (- x^{- 1} + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe $d (- x^{- 1} + C)$ als $d (- \frac{1}{x}) + C$ um.

$d (- \frac{1}{x}) + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $d$ und $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{x} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x^{3}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{d}{x} + C$