Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{2 + \sqrt{x}})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 2.1.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ ein.

$u_{lower} = 2 + 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 2 + 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$u_{lower} = 3$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ ein.

$u_{upper} = 2 + 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{upper} = 2 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 2 + 2^{1}$

Schritt 2.5.1.4

Berechne den Exponenten.

$u_{upper} = 2 + 2$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{3}^{4} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{3}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{4})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{3}^{4})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $4$ und $3$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 6.2.6

Bringe $3^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Schritt 6.2.7

Multipliziere $3^{\frac{3}{2}}$ mit $3^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.7.1

Bewege $3^{- 1}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Schritt 6.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Schritt 6.2.7.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Schritt 6.2.7.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Schritt 6.2.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Schritt 6.2.7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Schritt 6.2.7.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{16}{3}) + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2

Multipliziere $2 (\frac{16}{3})$ .

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{32}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Dezimalform:

$3.73846343 \dots$

Schritt 9