Analysis Beispiele

$\int_{- \infty}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $- \infty$ annähert.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{- 4} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} x^{- 3}]_{t}^{5}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ bei $5$ und $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{3} \cdot 5^{- 3}) + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{125} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{125}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{125 \cdot 3} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $125$ mit $3$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{- 3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{t^{- 3}}{3}$

Schritt 4.2.6

Bringe $t^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3 t^{3}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $- \infty$ annähert.

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{375}$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- \infty$ annähert.

$- \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

Schritt 5.1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} lim_{t \to - \infty} \frac{1}{t^{3}}$

Schritt 5.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{t^{3}}$ $0$ .

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} \cdot 0$

Schritt 5.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$- \frac{1}{375} + 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $- \frac{1}{375}$ und $0$ .

$- \frac{1}{375}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{375}$

Dezimalform:

$- 0.002\overline{6}$