Analysis Beispiele

$- 5 + x^{2} + y^{3} - y = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 5 + x^{2} + y^{3} - y) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 + x^{2} + y^{3} - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.1.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 2 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$0 + 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 + 2 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$0 + 2 x + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 + 2 x + 3 y^{2} y' - y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - y'$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$3 y^{2} y' + 2 x - y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 y^{2} y' + 2 x - y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - y' = - 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) - y' = - 2 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (3 y^{2} - 1) = - 2 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - 1) = - 2 x$ durch $3 y^{2} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - 1) = - 2 x$ durch $3 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 1)}{3 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} - 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} - 1)}{3 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{3 y^{2} - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3 y^{2} - 1}$