Analysis Beispiele

$y = \arccos (\sqrt{1 - x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x}$ als ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\arccos ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arccos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Vereinfache.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 10.3

Bringe ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 13

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 15

Multipliziere.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \cdot 1$

Schritt 17

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x}}$

Schritt 18.2

Vereine die Terme

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Schritt 18.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 - - x}}$

Schritt 18.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + 1 x}}$

Schritt 18.2.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + x}}$

Schritt 18.2.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{0 + x}}$

Schritt 18.2.5

Addiere $0$ und $x$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 18.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 18.4.2

Bewege $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Schritt 18.4.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Schritt 18.4.4

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Schritt 18.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 18.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 18.4.7

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 18.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 18.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 18.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 18.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 18.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Schritt 18.4.7.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 18.5

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$ um.

$\frac{\sqrt{x}}{2 x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$