Analysis Beispiele

$e^{x y} + \ln (x y) = 3$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{x y} + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x y} + \ln (x y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x y}$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.4.3.2

Kombiniere $\frac{x}{x y}$ und $y'$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 2.4.3.4

Kombiniere $\frac{1}{x y}$ und $y$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Schritt 2.4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Schritt 2.4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Schritt 2.4.5

Stelle die Faktoren in $e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ um.

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 1, y, x, 1$

Schritt 5.1.2

Da $1, 1, y, x, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $y^{1}, x^{1}$ .

Schritt 5.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.1.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 5.1.6

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 5.1.7

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 5.1.8

Das kgV von $y^{1}, x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y x$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ mit $y x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ mit $y x$ .

$x e^{x y} y' (y x) + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Bewege $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y \cdot y e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $y x$ heraus.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y = 0 (y x)$

Schritt 5.2.2.2

Stelle die Faktoren in $x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y$ um.

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 (y x)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere $0 (y x)$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 x$

Schritt 5.2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1.1

Subtrahiere $y^{2} x e^{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x + y = - y^{2} x e^{x y}$

Schritt 5.3.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x y'$ aus $x^{2} y' y e^{x y} + y' x$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $x y'$ aus $x^{2} y' y e^{x y}$ heraus.

$x y' (x y e^{x y}) + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $x y'$ aus $y' x$ heraus.

$x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1 = - y^{2} x e^{x y} - y$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1$ heraus.

$x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ durch $x (x y e^{x y} + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ durch $x (x y e^{x y} + 1)$ .

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x y e^{x y} + 1$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.2

Um $- \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x y e^{x y} + 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{(x y e^{x y} + 1) x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x y e^{x y} + 1) x$ um.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{x (x y e^{x y} + 1)} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y} x - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.5

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} e^{x y} x - y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} e^{x y} x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1$ heraus.

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.6

Stelle die Terme um.

$y' = \frac{y (- x y e^{x y} - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x y e^{x y} - 1$ und $x y e^{x y} + 1$ .

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Schritt 5.3.3.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x y e^{x y}$ heraus.

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.7.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1 (1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y e^{x y}) - 1 (1)$ heraus.

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.7.4

Schreibe $- (x y e^{x y} + 1)$ als $- 1 (x y e^{x y} + 1)$ um.

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Schritt 5.3.3.3.7.6

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 5.3.3.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.3.8.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Schritt 5.3.3.3.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$