Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- \frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $\frac{- 4}{6}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{2}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 18 (2 x)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 36 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 36 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2.6

Kombiniere $\frac{- 6}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 1.2.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.2.7.2.4

Dividiere $- 2 x^{2}$ durch $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [36 x]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $36$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 6 x + 36$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x^{2} + 6 x + 36$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2} + 6 x + 36$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $6 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) + 36 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $36$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 18 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot - 18 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (- 18)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x - 6) (x + 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x - 6) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 3$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $6$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = - \frac{1}{6} \cdot {(6)}^{4} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot {(6)}^{4} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Faktorisiere $6$ aus ${(6)}^{4}$ heraus.

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 \cdot 6^{3}) + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 \cdot 6^{3}) + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (6) = - 1 \cdot 6^{3} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f (6) = - 1 \cdot 216 + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $216$ .

$f (6) = - 216 + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f (6) = - 216 + 216 + 18 {(6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = - 216 + 216 + 18 \cdot 36$

Schritt 3.1.2.1.6

Mutltipliziere $18$ mit $36$ .

$f (6) = - 216 + 216 + 648$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $- 216$ und $216$ .

$f (6) = 0 + 648$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $0$ und $648$ .

$f (6) = 648$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $648$ .

$648$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $6$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(6, 648)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(6, 648)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 3$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 3)}^{4} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$f (- 3) = \frac{- 1}{6} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 (2)} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot 27) + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot 27) + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3) = \frac{- 1}{2} \cdot 27 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{- 1}{2}$ und $27$ .

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$f (- 3) = \frac{- 27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.6

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 18 {(- 3)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.7

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 18 \cdot 9$

Schritt 3.3.2.1.8

Mutltipliziere $18$ mit $9$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 162$

Schritt 3.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.3.2.2.1

Schreibe $- 27$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 162$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 27}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 162$

Schritt 3.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 27}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 162$

Schritt 3.3.2.2.4

Schreibe $162$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162}{1}$

Schritt 3.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{162}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{162}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 162 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 - 54 + 162 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.3.2.4.2

Mutltipliziere $162$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 - 54 + 324}{2}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.3.2.5.1

Subtrahiere $54$ von $- 27$ .

$f (- 3) = \frac{- 81 + 324}{2}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $- 81$ und $324$ .

$f (- 3) = \frac{243}{2}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{243}{2}$ .

$\frac{243}{2}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 3$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 3, \frac{243}{2})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 3, \frac{243}{2})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(6, 648), (- 3, \frac{243}{2})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 2 {(- 3.1)}^{2} + 6 (- 3.1) + 36$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3.1$ mit $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 2 \cdot 9.61 + 6 (- 3.1) + 36$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 19.22 + 6 (- 3.1) + 36$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 19.22 - 18.6 + 36$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $18.6$ von $- 19.22$ .

$f'' (- 3.1) = - 37.82 + 36$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 37.82$ und $36$ .

$f'' (- 3.1) = - 1.82$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.82$ .

$- 1.82$

Schritt 5.3

Bei $- 3.1$ , die zweite Ableitung ist $- 1.82$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 3)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 3)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, 6)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 \frac{9}{2^{2}} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 (\frac{9}{4}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (- 1) (\frac{9}{4}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Schritt 6.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Schritt 6.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Schritt 6.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = - 1 (\frac{9}{2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{9}{2})$ als $- (\frac{9}{2})$ um.

$f'' (\frac{3}{2}) = - (\frac{9}{2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Schritt 6.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{3}{2}) + 36$

Schritt 6.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{3}{2})) + 36$

Schritt 6.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 3 \cdot 3 + 36$

Schritt 6.2.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 9 + 36$

Schritt 6.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9}{1} + 36$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{9}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{2}{2} + 36$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{9}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + 36$

Schritt 6.2.2.4

Schreibe $36$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1}$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{36}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{36}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 9 \cdot 2 + 36 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 18 + 36 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $36$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 18 + 72}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.5.1

Addiere $- 9$ und $18$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{9 + 72}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $9$ und $72$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{81}{2}$ .

$\frac{81}{2}$

Schritt 6.3

Bei $\frac{3}{2}$ ist die zweite Ableitung $40.5$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 3, 6)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 3, 6)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6.1$ .

$f'' (6.1) = - 2 {(6.1)}^{2} + 6 (6.1) + 36$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $6.1$ mit $2$ .

$f'' (6.1) = - 2 \cdot 37.21 + 6 (6.1) + 36$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $37.21$ .

$f'' (6.1) = - 74.42 + 6 (6.1) + 36$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $6.1$ .

$f'' (6.1) = - 74.42 + 36.6 + 36$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 74.42$ und $36.6$ .

$f'' (6.1) = - 37.82 + 36$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 37.82$ und $36$ .

$f'' (6.1) = - 1.82$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.82$ .

$- 1.82$

Schritt 7.3

Bei $6.1$ , die zweite Ableitung ist $- 1.82$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(6, \infty)$

Abfallend im Intervall $(6, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 3, \frac{243}{2}), (6, 648)$ .

$(- 3, \frac{243}{2}), (6, 648)$

Schritt 9