Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Schritt 4.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Schritt 4.2.3.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Schritt 4.2.3.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 4.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Schritt 4.2.3.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Schritt 4.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ als $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ um.

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$