Analysis Beispiele

$y = - \frac{1}{4} x^{- 4} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} x^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{4} x^{- 4} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{- 4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- \frac{1}{4} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{1}{4}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Schritt 1.2.6

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Schritt 1.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Schritt 1.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Schritt 1.3

Da $- \frac{1}{16}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{16}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{1}{4} (4 x^{3})$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4}{4} x^{3}$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4 x^{3}}{4}$

Schritt 1.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + \frac{4 x^{3}}{4}$

Schritt 1.4.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 0 + x^{3}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $\frac{1}{x^{5}}$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{5}} + x^{3}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 x^{2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$3 x^{2} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$3 x^{2} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

Schritt 2.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$3 x^{2} - x^{- 10} (5 x^{4})$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 5 x^{- 10} x^{4}$

Schritt 2.2.6

Multipliziere $x^{- 10}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.6.1

Bewege $x^{4}$ .

$3 x^{2} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

Schritt 2.2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} - 5 x^{4 - 10}$

Schritt 2.2.6.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$3 x^{2} - 5 x^{- 6}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{6}}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 5}{x^{6}}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 3 x^{2} - \frac{5}{x^{6}}$