Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[0, 1]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{4}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 1]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

Schritt 7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

Schritt 8

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 8.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{lower} = 0 - 2$

Schritt 8.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{upper} = 1 - 2$

Schritt 8.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

Schritt 10

Berechne $\ln (| u |)$ bei $- 1$ und $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

Schritt 11

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

Schritt 12.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Schritt 13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Schritt 13.2

Addiere $1$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 14.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Schritt 14.1.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ mit $1$ .

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 15

Vereinfache $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

Schritt 16

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

Schritt 17

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

Schritt 18

Potenziere $2$ mit $4$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

Schritt 19