Analysis Beispiele

$\frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{x \cdot 2 + x \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 5

Stelle $x$ und $2$ um.

$\int \frac{2 \cdot x + x \cdot x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{1} x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{1} x^{1}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{2 x + x^{1 + 1}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{2 x + x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 9.2

Stelle $2 x$ und $x^{2}$ um.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 9.3

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Schritt 12

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 13

Stelle $x$ und $1$ um.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 17

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 17.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 17.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Schritt 17.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Schritt 18

Addiere $x$ und $x$ .

$\int \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 19

Dividiere $x^{2} + 2 x$ durch $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Schritt 19.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Schritt 19.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Schritt 19.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Schritt 19.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 2 x + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Schritt 19.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
									-	$1$

Schritt 19.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 20

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 21

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 22

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Schritt 23

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 23.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 23.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 23.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Schritt 23.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 23.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 23.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 23.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 23.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Schritt 23.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 23.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 23.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 23.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 23.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 23.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 23.1.6.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Schritt 23.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 23.1.6.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(B) {(x + 1)}^{2}$ heraus.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 23.1.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 23.1.6.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 23.1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Schritt 23.1.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Schritt 23.1.6.2.2.4

Dividiere $B (x + 1)$ durch $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Schritt 23.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Schritt 23.1.6.4

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A + B x + B$

Schritt 23.1.7

Stelle $A$ und $B x$ um.

$1 = B x + A + B$

Schritt 23.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 23.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B$

Schritt 23.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 23.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Schritt 23.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 23.3.1

Schreibe die Gleichung als $B = 0$ um.

$B = 0$

$1 = A + B$

Schritt 23.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 23.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $1 = A + B$ durch $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Schritt 23.3.2.2

Vereinfache $1 = A + 0$ .

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Schritt 23.3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 23.3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Schritt 23.3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 23.3.2.2.2.1

Addiere $A$ und $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Schritt 23.3.3

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$B = 0$

Schritt 23.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = 1 B = 0$

Schritt 23.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 1, B = 0$

Schritt 23.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Schritt 23.5

Vereinfache.

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Schritt 23.5.1

Dividiere $0$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Schritt 23.5.2

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 24

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 24.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 24.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 24.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 24.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 24.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 24.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 24.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C - \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 25

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 25.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$x + C - \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 25.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 25.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C - \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 25.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x + C - \int u^{- 2} d u$

Schritt 26

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$x + C - (- u^{- 1} + C)$

Schritt 27

Vereinfache.

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Schritt 27.1

Vereinfache.

$x - - \frac{1}{u} + C$

Schritt 27.2

Vereinfache.

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Schritt 27.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 1 \frac{1}{u} + C$

Schritt 27.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $1$ .

$x + \frac{1}{u} + C$

Schritt 28

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$x + \frac{1}{x + 1} + C$

Schritt 29

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x (2 + x)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{x + 1} + C$