Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 1$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 1$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 1$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 1$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 1$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 1$

Schritt 6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{4 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 1$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{4 \cdot 0} - 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 1$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{4 \cdot 0} - 2 e^{2 \cdot 0} + 1$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$e^{0} - 2 e^{2 \cdot 0} + 1$

Schritt 9.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - 2 e^{2 \cdot 0} + 1$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$1 - 2 e^{0} + 1$

Schritt 9.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$1 - 2 + 1$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 9.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$