Analysis Beispiele

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Schritt 5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ als $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ um.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Schritt 9.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$- \frac{1}{4 {(2 x + 1)}^{2}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4 {(2 x + 1)}^{2}} + C$