Analysis Beispiele

$\int (5 e^{2 x} + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 5 e^{2 x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \ln (| x |) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{5}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$