Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{25 x^{2}}{4 + 36 x^{2}}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{25 x^{2}}{4 + 36 x^{2}}}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $25$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{25 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4 + 36 x^{2}}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$\sqrt{25 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{36 x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{25 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{36 x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{25 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{36 x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{25 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{4}{x^{2}} + \frac{36 x^{2}}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $36$ durch $1$ .

$\sqrt{25 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{4}{x^{2}} + 36}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\sqrt{25 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 36}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\sqrt{25 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + 36}}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\sqrt{25 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 36}}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{25 \frac{1}{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 36}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\sqrt{25 \frac{1}{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 36}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $36$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\sqrt{25 \frac{1}{4 \cdot 0 + 36}}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $25$ und $\frac{1}{4 \cdot 0 + 36}$ .

$\sqrt{\frac{25}{4 \cdot 0 + 36}}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\sqrt{\frac{25}{0 + 36}}$

Schritt 5.2.3

Addiere $0$ und $36$ .

$\sqrt{\frac{25}{36}}$

Schritt 5.2.4

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{36}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}$ um.

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{36}}$

Schritt 5.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5}{\sqrt{36}}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.6.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{5}{\sqrt{6^{2}}}$

Schritt 5.2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5}{6}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{6}$

Dezimalform:

$0.8\overline{3}$