Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ .

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ und $x^{5}$ .

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Schritt 2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Schritt 3

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{6})}^{1}$ um.

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = x^{6}$ . Dann ist $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = x^{6}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Schritt 5.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $5 + 2 u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $12$ .

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $6$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 8

Sei $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $5 + 2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

Schritt 8.1.2

Differenziere.

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Schritt 8.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 2 u_{1}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 8.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 8.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

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Schritt 8.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 8.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 8.1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 + 2 u_{1}$ .

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{6}$ .

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$