Analysis Beispiele

$- y^{3} - 5 y - 3 y^{2} - 5 x^{3} = x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} - 5 y - 3 y^{2} - 5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y^{3} - 5 y - 3 y^{2} - 5 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 3 y^{2} y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 y^{2} y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 6 y y' - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 6 y y' - 5 (3 x^{2})$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$- 3 y^{2} y' - 5 y' - 6 y y' - 15 x^{2}$

Schritt 2.6

Stelle die Terme um.

$- 15 x^{2} - 3 y^{2} y' - 6 y y' - 5 y'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 15 x^{2} - 3 y^{2} y' - 6 y y' - 5 y' = 2 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $15 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} y' - 6 y y' - 5 y' = 2 x + 15 x^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y' - 6 y y' - 5 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) - 6 y y' - 5 y' = 2 x + 15 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 6 y y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 6 y) - 5 y' = 2 x + 15 x^{2}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 5 y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 6 y) + y' \cdot - 5 = 2 x + 15 x^{2}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 3 y^{2}) + y' (- 6 y)$ heraus.

$y' (- 3 y^{2} - 6 y) + y' \cdot - 5 = 2 x + 15 x^{2}$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 3 y^{2} - 6 y) + y' \cdot - 5$ heraus.

$y' (- 3 y^{2} - 6 y - 5) = 2 x + 15 x^{2}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y^{2} - 6 y - 5) = 2 x + 15 x^{2}$ durch $- 3 y^{2} - 6 y - 5$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y^{2} - 6 y - 5) = 2 x + 15 x^{2}$ durch $- 3 y^{2} - 6 y - 5$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 6 y - 5)}{- 3 y^{2} - 6 y - 5} = \frac{2 x}{- 3 y^{2} - 6 y - 5} + \frac{15 x^{2}}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 y^{2} - 6 y - 5$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 6 y - 5)}{- 3 y^{2} - 6 y - 5} = \frac{2 x}{- 3 y^{2} - 6 y - 5} + \frac{15 x^{2}}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{- 3 y^{2} - 6 y - 5} + \frac{15 x^{2}}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x + 15 x^{2}}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x + 15 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$y' = \frac{x \cdot 2 + 15 x^{2}}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $15 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x \cdot 2 + x (15 x)}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (15 x)$ heraus.

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- 3 y^{2} - 6 y - 5}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- (3 y^{2}) - 6 y - 5}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 y$ heraus.

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- (3 y^{2}) - (6 y) - 5}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y^{2}) - (6 y)$ heraus.

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- (3 y^{2} + 6 y) - 5}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- (3 y^{2} + 6 y) - 1 (5)}$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y^{2} + 6 y) - 1 (5)$ heraus.

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- (3 y^{2} + 6 y + 5)}$

Schritt 5.3.3.8

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.3.8.1

Schreibe $- (3 y^{2} + 6 y + 5)$ als $- 1 (3 y^{2} + 6 y + 5)$ um.

$y' = \frac{x (2 + 15 x)}{- 1 (3 y^{2} + 6 y + 5)}$

Schritt 5.3.3.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (2 + 15 x)}{3 y^{2} + 6 y + 5}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (2 + 15 x)}{3 y^{2} + 6 y + 5}$