Analysis Beispiele

$e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ at $x = 1$

Schritt 1

Schreibe $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ als Gleichung.

$y = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 4

Da $100 e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 e$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

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Schritt 5.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{4}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 6

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme

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Schritt 7.1.1

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

Schritt 7.1.2

Addiere $e^{x} + 32 x^{3}$ und $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3}$

Schritt 7.2

Stelle die Terme um.

$32 x^{3} + e^{x}$

Schritt 8

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$32 {(1)}^{3} + e^{1}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$32 \cdot 1 + e^{1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $32$ mit $1$ .

$32 + e^{1}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

$32 + e$