Analysis Beispiele

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Schritt 1

Schreibe $(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ als Funktion.

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Schritt 2

Die Funktion $F (t)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (t)$ ermittelt wird.

$F (t) = \int f (t) d t$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

Schritt 4

Da $d$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Schritt 5.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Schritt 5.5

Addiere $- 3$ und $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Schritt 5.6

Potenziere $t$ mit $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

Schritt 5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

Schritt 5.8

Addiere $- 9$ und $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

Schritt 5.9

Potenziere $t$ mit $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

Schritt 5.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

Schritt 5.11

Addiere $3$ und $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

Schritt 5.12

Bewege $12 t^{- 8}$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

Schritt 5.13

Stelle $10 t^{- 2}$ und $4 t^{4}$ um.

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{4}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Schritt 9

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 2}$ nach $t$ gleich $- t^{- 1}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

Schritt 11

Da $12$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 8}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $t^{5}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Schritt 13.1.2

Kombiniere $t^{- 7}$ und $\frac{1}{7}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

Schritt 13.1.3

Bringe $t^{- 7}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Schritt 13.3

Stelle die Terme um.

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ .

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$