Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{x} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt{x} d x + \int - x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + \ln (| x |) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + \ln (| x |) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \ln (| x |) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{x} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \ln (| x |) + C$