Analysis Beispiele

$\int (3 - 2 x) \sqrt{9 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 3 - 2 x$ und $d v = \sqrt{9 x}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} {(9 (x))}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $9 (x)$ an.

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (9^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} ({(3^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{3} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (27 x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.7

Kombiniere $27$ und $\frac{2}{27}$ .

$(3 - 2 x) (\frac{27 \cdot 2}{27} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$(3 - 2 x) (\frac{54}{27} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.9

Kombiniere $\frac{54}{27}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 - 2 x) \frac{54 x^{\frac{3}{2}}}{27} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.10

Faktorisiere $27$ aus $54 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.11.1

Faktorisiere $27$ aus $27$ heraus.

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27 (1)} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27 \cdot 1} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$(3 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.11.4

Dividiere $2 x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$(3 - 2 x) (2 x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 2.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 - 2 x$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

Schritt 3

Da $\frac{2}{27} \cdot - 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{27} \cdot - 2$ aus dem Integral.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{27} \cdot - 2 \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{2}{27}$ und $- 2$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot - 2}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{- 4}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.4

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(9 (x))}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.5

Wende die Produktregel auf $9 (x)$ an.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 9^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{3} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.9

Potenziere $3$ mit $3$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 1 (\frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $\frac{4}{27}$ mit $1$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $27$ aus dem Integral.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{27} (27 \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $27$ und $\frac{4}{27}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{108}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $108$ und $27$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $27$ aus $108$ heraus.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $27$ aus $27$ heraus.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27 (1)} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27 \cdot 1} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{1} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Schreibe $2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ als $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ um.

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 8.2.4

Um $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 8.2.5

Kombiniere $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 8.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 8.2.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 (6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} (5 (6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}) + C$