Analysis Beispiele

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

Schritt 1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

Schritt 1.2.2

Schreibe $- 4$ um als $2$ plus $- 6$

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

Schritt 1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

Schritt 1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Schritt 2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $(- x + 2) (x + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

Schritt 3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Schritt 3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $- 6 x$ und $2 x$ .

$- x^{2} - 4 x + 12$

Schritt 3.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

Schritt 3.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Schritt 3.4.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 2$ als $- - 2$ um.

$d = - - 2$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$d = 2$

Schritt 3.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.2.1.1.6

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 3.5.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 12 - - 4$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 12 + 4$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $12$ und $4$ .

$e = 16$

Schritt 3.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 2)}^{2} + 16$ ein.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

Schritt 4

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

Schritt 5.2

Stelle $- u^{2}$ und $4^{2}$ um.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (\frac{u}{4})$

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Schritt 7

Schreibe $8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ als $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ um.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$