Analysis Beispiele

$4 x (1 + \ln (x))$

Schritt 1

Schreibe $4 x (1 + \ln (x))$ als Funktion.

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

Schritt 4.3

Vereinfache $4 \ln (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

Schritt 5

Schreibe $4 x + x \ln (x^{4})$ als $4 x + x (4 \ln (x))$ um.

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

Schritt 9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

Schritt 10

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 11.3

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 11.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 11.5

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Schritt 11.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 11.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Schritt 11.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 11.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 11.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Schritt 14.2

Vereinfache.

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Schritt 14.4

Vereinfache.

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Schritt 14.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Schritt 14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Schritt 14.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Schritt 14.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Schritt 14.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{4}$ in den Zähler.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Schritt 14.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Schritt 14.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

Schritt 14.4.4

Stelle die Faktoren in $2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ um.

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

Schritt 14.4.5

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ .

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$