Analysis Beispiele

${(3 t - 1)}^{3} d t$

Schritt 1

Sei $u = 3 t - 1$ . Dann ist $d u = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 t - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $3 t - 1$ .

$\frac{1}{12} {(3 t - 1)}^{4} + C$