Analysis Beispiele

$- x y^{3} = - y^{2} - 3$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x y^{3}) = \frac{d}{d x} (- y^{2} - 3)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Schritt 2.8.3

Stelle die Terme um.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 y y' + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $- 2 y y'$ und $0$ .

$- 2 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' = - 2 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $2 y y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 2 y y' = 0$

Schritt 5.2

Addiere $y^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} x y' + 2 y y' = y^{3}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y y'$ aus $- 3 y^{2} x y' + 2 y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y y'$ aus $- 3 y^{2} x y'$ heraus.

$y y' (- 3 y x) + 2 y y' = y^{3}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y y' (- 3 y x) + y y' \cdot 2 = y^{3}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y y'$ aus $y y' (- 3 y x) + y y' \cdot 2$ heraus.

$y y' (- 3 y x + 2) = y^{3}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' (- 3 y x + 2) = y^{3}$ durch $y (- 3 y x + 2)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' (- 3 y x + 2) = y^{3}$ durch $y (- 3 y x + 2)$ .

$\frac{y y' (- 3 y x + 2)}{y (- 3 y x + 2)} = \frac{y^{3}}{y (- 3 y x + 2)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (- 3 y x + 2)}{y (- 3 y x + 2)} = \frac{y^{3}}{y (- 3 y x + 2)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 3 y x + 2)}{- 3 y x + 2} = \frac{y^{3}}{y (- 3 y x + 2)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 y x + 2$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 3 y x + 2)}{- 3 y x + 2} = \frac{y^{3}}{y (- 3 y x + 2)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{y (- 3 y x + 2)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (- 3 y x + 2)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (- 3 y x + 2)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{2}}{- 3 y x + 2}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y x$ heraus.

$y' = \frac{y^{2}}{- (3 y x) + 2}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$y' = \frac{y^{2}}{- (3 y x) - 1 (- 2)}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y x) - 1 (- 2)$ heraus.

$y' = \frac{y^{2}}{- (3 y x - 2)}$

Schritt 5.4.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe $- (3 y x - 2)$ als $- 1 (3 y x - 2)$ um.

$y' = \frac{y^{2}}{- 1 (3 y x - 2)}$

Schritt 5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{3 y x - 2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{3 y x - 2}$