Analysis Beispiele

${(1 + x)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 1 + x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$3 {(1 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(1 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(1 + x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(1 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(1 + x)}^{2} \cdot 1$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 {(1 + x)}^{2}$