Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{2 x^{2} + x + 2}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} + x + 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} 2 x^{2} + lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{2 lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\sqrt[3]{2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\sqrt[3]{2 {(- 2)}^{2} + lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\sqrt[3]{2 {(- 2)}^{2} - 2 + 2}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{2 \cdot 4 - 2 + 2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\sqrt[3]{8 - 2 + 2}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$\sqrt[3]{6 + 2}$

Schritt 7.4

Addiere $6$ und $2$ .

$\sqrt[3]{8}$

Schritt 7.5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\sqrt[3]{2^{3}}$

Schritt 7.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$2$