Analysis Beispiele

$x^{3} y = - 5 - 3 x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y) = \frac{d}{d x} (- 5 - 3 x^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} y' + y (3 x^{2})$

Schritt 2.4

Stelle um.

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Schritt 2.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{3} y' + 3 \cdot y x^{2}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 - 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$0 - 6 x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $6 x$ von $0$ .

$- 6 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y = - 6 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} y' = - 6 x - 3 x^{2} y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y' = - 6 x - 3 x^{2} y$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y' = - 6 x - 3 x^{2} y$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{- 6 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{- 6 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 6 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$y' = \frac{x \cdot - 6}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2} y$ heraus.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (- 3 y)}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (- 3 y)}{x^{2} x}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (- 3 y)}{x^{2} x}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 3 y}{x}$

Schritt 5.2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6}{x^{2}} - \frac{3 y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x^{2}} - \frac{3 y}{x}$