Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} {(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Ziehe den Exponenten $\frac{1}{3}$ von ${(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 4} \frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

${(\frac{12 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

${(\frac{12 - 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.1.3

Subtrahiere $4$ von $12$ .

${(\frac{8}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

${(\frac{8}{16 + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

${(\frac{8}{16 + 12 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(\frac{8}{16 + 12 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.4

Addiere $16$ und $12$ .

${(\frac{8}{28 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.5

Subtrahiere $1$ von $28$ .

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.3

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{27}$ an.

$\frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.4.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{27^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.5.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{2}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 11.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 11.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3^{1}}$

Schritt 11.5.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$