Analysis Beispiele

$2 \arctan (x)$

Schritt 1

Schreibe $2 \arctan (x)$ als Funktion.

$f (x) = 2 \arctan (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 \arctan (x) d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \arctan (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \arctan (x)$ und $d v = 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 6

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 7

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Schritt 8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\ln (| x^{2} + 1 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 13.2

Um $\arctan (x) x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 13.3

Kombiniere $\arctan (x) x$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\arctan (x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Schritt 13.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Schritt 13.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 13.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\arctan (x) x$ .

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 13.7

Stelle die Faktoren in $2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |)$ um.

$2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 \arctan (x)$ .

$F (x) =$ $2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$