Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\infty} \frac{5}{x^{4}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{5}{x^{4}} d x$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{- 4} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{t})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{t})$

Schritt 5.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{t})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $- \frac{1}{3 x^{3}}$ bei $t$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 t^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3})$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1.1

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3}$

Schritt 6.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Schritt 6.1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Schritt 6.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{t^{3}}$ $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.3.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{3}$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.3.2.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3})$

Schritt 6.3.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{3})$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3})$

Schritt 6.3.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{3}$

Dezimalform:

$1.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{2}{3}$