Analysis Beispiele

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x^{2}$ und $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.4.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x x'$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 x x'$

Schritt 2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 y x' + 2 x x'$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = - 2 x^{2} y$

Schritt 5.1.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 x'$ aus $2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 x'$ aus $2 y^{2} x x'$ heraus.

$2 x' (y^{2} x) - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 x'$ aus $- 2 y x'$ heraus.

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 x'$ aus $2 x x'$ heraus.

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $2 x'$ aus $2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y)$ heraus.

$2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $2 x'$ aus $2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x$ heraus.

$2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ durch $2 (y^{2} x - y + x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ durch $2 (y^{2} x - y + x)$ .

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} x - y + x$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} y$ heraus.

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{x}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- x^{2} y + x}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} y + x$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} y$ heraus.

$x' = \frac{x (- x y) + x}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x^{1}}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 5.3.3.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x' = \frac{x (- x y) + x \cdot 1}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 5.3.3.2.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- x y) + x \cdot 1$ heraus.

$x' = \frac{x (- x y + 1)}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x y$ heraus.

$x' = \frac{x (- (x y) + 1)}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 5.3.3.2.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x' = \frac{x (- (x y) - 1 (- 1))}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y) - 1 (- 1)$ heraus.

$x' = \frac{x (- (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 5.3.3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.2.6.1

Schreibe $- (x y - 1)$ als $- 1 (x y - 1)$ um.

$x' = \frac{x (- 1 (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 5.3.3.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$