Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 15$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{3} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $15$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$\frac{π^{3}}{2^{3}} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Schritt 8.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π^{3}}{8} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Schritt 8.3

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$\frac{π^{3}}{8} + 5 \frac{π^{2}}{2^{2}} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Schritt 8.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π^{3}}{8} + 5 \frac{π^{2}}{4} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Schritt 8.5

Kombiniere $5$ und $\frac{π^{2}}{4}$ .

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Schritt 8.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} + 2 (- 1) \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Schritt 8.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

Schritt 8.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 1 \cdot 15$

Schritt 8.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 15$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 15$

Dezimalform:

$- 1.92880256 \dots$