Analysis Beispiele

$e^{\frac{x + 1}{2}}$

Schritt 1

Schreibe $e^{\frac{x + 1}{2}}$ als Funktion.

$f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int e^{\frac{x + 1}{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = \frac{x + 1}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u = \frac{x + 1}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $\frac{x + 1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2}]$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x + 1}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int e^{u} \cdot 2 d u$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u}$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int e^{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$2 e^{u} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + 1}{2}$ .

$2 e^{\frac{x + 1}{2}} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$