Analysis Beispiele

$f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.10

Kombiniere $12$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.11

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.12

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{3}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

Schritt 2.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{- \frac{5}{3}}}{3}$

Schritt 2.12.2

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.12.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.1.2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 4.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 4.1.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 4.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.1.10

Kombiniere $12$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.1.11

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.12

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 4.1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 5.3

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.3.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{8}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- \frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 0}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{8}{0}$

Schritt 9.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{8}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (2) = \frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 10.4

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 10.5

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 11