Analysis Beispiele

$- 5 + 3 y^{3} = 5 y^{2} + 3 y + x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 5 + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y^{2} + 3 y + x^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 + 3 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$0 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 + 3 (3 y^{2} y')$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$0 + 9 y^{2} y'$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $9 y^{2} y'$ .

$9 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 y^{2} + 3 y + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 y y' + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$10 y y' + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$10 y y' + 3 y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 y y' + 3 y' + 2 x$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$10 y y' + 2 x + 3 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$9 y^{2} y' = 10 y y' + 2 x + 3 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$10 y y' + 2 x + 3 y' = 9 y^{2} y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $9 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y y' + 2 x + 3 y' - 9 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y y' + 3 y' - 9 y^{2} y' = - 2 x$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $10 y y' + 3 y' - 9 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $10 y y'$ heraus.

$y' (10 y) + 3 y' - 9 y^{2} y' = - 2 x$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y'$ heraus.

$y' (10 y) + y' \cdot 3 - 9 y^{2} y' = - 2 x$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 9 y^{2} y'$ heraus.

$y' (10 y) + y' \cdot 3 + y' (- 9 y^{2}) = - 2 x$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (10 y) + y' \cdot 3$ heraus.

$y' (10 y + 3) + y' (- 9 y^{2}) = - 2 x$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (10 y + 3) + y' (- 9 y^{2})$ heraus.

$y' (10 y + 3 - 9 y^{2}) = - 2 x$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

$y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3) = - 2 x$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3) = - 2 x$ durch $- 9 y^{2} + 10 y + 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3) = - 2 x$ durch $- 9 y^{2} + 10 y + 3$ .

$\frac{y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3)}{- 9 y^{2} + 10 y + 3} = \frac{- 2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9 y^{2} + 10 y + 3$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 9 y^{2} + 10 y + 3)}{- 9 y^{2} + 10 y + 3} = \frac{- 2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{- 9 y^{2} + 10 y + 3}$

Schritt 5.6.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2}) + 10 y + 3}$

Schritt 5.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $10 y$ heraus.

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2}) - (- 10 y) + 3}$

Schritt 5.6.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 y^{2}) - (- 10 y)$ heraus.

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2} - 10 y) + 3}$

Schritt 5.6.3.5

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2} - 10 y) - 1 (- 3)}$

Schritt 5.6.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 y^{2} - 10 y) - 1 (- 3)$ heraus.

$y' = - \frac{2 x}{- (9 y^{2} - 10 y - 3)}$

Schritt 5.6.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.3.7.1

Schreibe $- (9 y^{2} - 10 y - 3)$ als $- 1 (9 y^{2} - 10 y - 3)$ um.

$y' = - \frac{2 x}{- 1 (9 y^{2} - 10 y - 3)}$

Schritt 5.6.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$

Schritt 5.6.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$

Schritt 5.6.3.7.4

Mutltipliziere $\frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$ mit $1$ .

$y' = \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{9 y^{2} - 10 y - 3}$