Analysis Beispiele

$\frac{y}{3 y^{2} - x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = 3 y^{2} - x$ .

$\frac{(3 y^{2} - x) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 y^{2} - x) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3 y^{2} - x$ mit $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y^{2} - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + 0)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $6 y$ und $0$ .

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y \cdot y}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y^{1})}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{1 + 1}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{2}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 7

Subtrahiere $6 y^{2}$ von $3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$\frac{- (3 y^{2}) - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (3 y^{2}) - (x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y^{2}) - (x)$ heraus.

$\frac{- (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 8.4

Schreibe $- (3 y^{2} + x)$ als $- 1 (3 y^{2} + x)$ um.

$\frac{- 1 (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Schritt 8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 y^{2} + x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$