Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $\sqrt{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt{3} \sin (x)$ nach $x$ gleich $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.3.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.4

Separiere Brüche.

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.7

Separiere Brüche.

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 2.9

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

Schritt 2.11

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 2.12

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 2.12.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 2.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Schritt 2.12.3.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Schritt 2.13

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 2.14

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 2.15

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{3}$

Schritt 2.16

Vereinfache $π + \frac{π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.16.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 2.16.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.16.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 2.16.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 2.16.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.16.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 2.16.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 2.17

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.17.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.17.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.17.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.17.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.18

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{3}$ .

$\sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.2

Multipliziere $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.2.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.1.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 + 1}{2}$

Schritt 4.1.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.2.1

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{4}{2}$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$2$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{4 π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{4 π}{3}$ .

$\sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.3

Multipliziere $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.3.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.2.2.1.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$- 2$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{3} + 2 π n, 2), (\frac{4 π}{3} + 2 π n, - 2)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5