Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $v^{4}$ aus $v^{4} + 4 v^{8}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $v^{4}$ aus $4 v^{8}$ heraus.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $v^{4}$ aus $v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ heraus.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $v^{4}$ aus $v^{5}$ heraus.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

Schritt 2

Stelle $1$ und $4 v^{4}$ um.

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

Schritt 3

Dividiere $4 v^{4} + 1$ durch $v$ .

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Schritt 3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Schritt 3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 v^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $v$ .

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Schritt 3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Schritt 3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 v^{4} + 0$

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Schritt 3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Schritt 3.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $v^{3}$ nach $v$ gleich $\frac{1}{4} v^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $v^{4}$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{v}$ nach $v$ ist $\ln (| v |)$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Berechne $\frac{v^{4}}{4}$ bei $2$ und $1$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Schritt 9.1.2

Berechne $\ln (| v |)$ bei $2$ und $1$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3

Vereinfache.

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Schritt 9.1.3.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 9.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.5

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.3.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.7.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.8

Kombiniere $4$ und $\frac{15}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $4$ .

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Schritt 9.1.3.10.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.1.3.10.2.4

Dividiere $15$ durch $1$ .

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 9.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Schritt 9.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

Schritt 9.3.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$15 + \ln (2)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$15 + \ln (2)$

Dezimalform:

$15.69314718 \dots$

Schritt 11