Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x^{2} - 3 x + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 3 x + 6$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) - 3 x + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Schritt 1.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Schritt 1.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Schritt 1.1.1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - x) + 3 (2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Schritt 1.1.1.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - x) + 3 (2)$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) - 6 x^{2} + 24 x}$

Schritt 1.1.1.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 24 x}$

Schritt 1.1.1.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $24 x$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (12)}$

Schritt 1.1.1.2.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (12)}$

Schritt 1.1.1.2.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (12)$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)$ .

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 12)}{2 x^{2} - 3 x + 12} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 12)}{2 x^{2} - 3 x + 12} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.6.2

Dividiere $3 (x^{2} - x + 2)$ durch $1$ .

$3 (x^{2} - x + 2) = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot 2 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot 2 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9.1.2

Dividiere $A (2 (2 x^{2} - 3 x + 12))$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = A (2 (2 x^{2} - 3 x + 12)) + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 A (2 x^{2} - 3 x + 12) + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 A (2 x^{2}) + 2 A (- 3 x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.9.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 A (- 3 x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 \cdot (- 3 A x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9.4.3

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 \cdot (- 3 A x) + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} + 2 \cdot (- 3 A x) + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

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Schritt 1.1.9.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.1.9.6.2

Dividiere $(B x + C) (2 x)$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + (B x + C) (2 x)$

Schritt 1.1.9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + B x (2 x) + C (2 x)$

Schritt 1.1.9.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x \cdot x + C (2 x)$

Schritt 1.1.9.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x \cdot x + 2 C x$

Schritt 1.1.9.10

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.9.10.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B (x \cdot x) + 2 C x$

Schritt 1.1.9.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

Schritt 1.1.10

Stelle um.

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Schritt 1.1.10.1

Bewege $A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 A x + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

Schritt 1.1.10.2

Bewege $A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

Schritt 1.1.10.3

Bewege $B$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 24 A + 2 x^{2} B + 2 C x$

Schritt 1.1.10.4

Bewege $24 A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 2 x^{2} B + 2 C x + 24 A$

Schritt 1.1.10.5

Bewege $- 6 x A$ .

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B - 6 x A + 2 C x + 24 A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$3 = 4 A + 2 B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$6 = 24 A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$6 = 24 A$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$6 = 24 A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $6 = 24 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $24 A = 6$ um.

$24 A = 6$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $24 A = 6$ durch $24$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $24 A = 6$ durch $24$ .

$\frac{24 A}{24} = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 1.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 A}{24} = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $24$ .

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Schritt 1.3.1.2.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$A = \frac{6 (1)}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $24$ heraus.

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $\frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $3 = 4 A + 2 B$ durch $\frac{1}{4}$ .

$3 = 4 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 = 4 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $A$ in $- 3 = - 6 A + 2 C$ durch $\frac{1}{4}$ .

$- 3 = - 6 (\frac{1}{4}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.2.4.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$- 3 = 2 (- 3) (\frac{1}{4}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.2.4.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 3 = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.2.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.2.4.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3 = - 3 (\frac{1}{2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 3 (\frac{1}{2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.2.4.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 3 = \frac{- 3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.2.4.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3

Löse in $- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$ nach $C$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{3}{2} + 2 C = - 3$ um.

$- \frac{3}{2} + 2 C = - 3$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Addiere $\frac{3}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 C = - 3 + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 C = - 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 C = \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 C = \frac{- 3 \cdot 2 + 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$2 C = \frac{- 6 + 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.2.5.2

Addiere $- 6$ und $3$ .

$2 C = \frac{- 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$2 C = \frac{- 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 C = - \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$2 C = - \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 C = - \frac{3}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 C = - \frac{3}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$C = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.3.3.2

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.3.3.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$C = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.3.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $- \frac{3}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + 2 B = 3$ um.

$1 + 2 B = 3$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 B = 3 - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2 B = 2$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$2 B = 2$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.4.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.3.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = 1, C = - \frac{3}{4}, A = \frac{1}{4}$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{2 x^{2} - 3 x + 12}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{1 x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $4$ .

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Schritt 1.5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 \cdot x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4}{4} \cdot \frac{1 \cdot x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

Schritt 1.5.1.2

Kombinieren.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x - \frac{3}{4})}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (- \frac{3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (\frac{- 3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (\frac{- 3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Schritt 1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 \cdot (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 2 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12$ heraus.

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Schritt 1.5.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

Schritt 1.5.5.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 12$ heraus.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}$

Schritt 1.5.5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ heraus.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}$

Schritt 1.5.5.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ heraus.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Schritt 1.5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

Schritt 1.5.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{1}{4 x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 12} d x$

Schritt 6

Sei $u = 2 x^{2} - 3 x + 12$ . Dann ist $d u = (4 x - 3) d x$ , folglich $\frac{1}{4 x - 3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 2 x^{2} - 3 x + 12$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x + 12]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 3 x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 6.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 6.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 6.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 6.1.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$4 x - 3 + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 6.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1.5.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x - 3 + 0$

Schritt 6.1.5.2

Addiere $4 x - 3$ und $0$ .

$4 x - 3$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{2} - 3 x + 12$ .

$\frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| 2 x^{2} - 3 x + 12 |) + C$