Analysis Beispiele

$- y = - 3 x + x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- y) = \frac{d}{d x} (- 3 x + x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- 3 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 + x y' + y \cdot 1$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 3 + x y' + y$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$x y' + y - 3$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y' = x y' + y - 3$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' - x y' = y - 3$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' - x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' \cdot - 1 - x y' = y - 3$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' \cdot - 1 + y' (- x) = y - 3$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot - 1 + y' (- x)$ heraus.

$y' (- 1 - x) = y - 3$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 1 - x) = y - 3$ durch $- 1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 1 - x) = y - 3$ durch $- 1 - x$ .

$\frac{y' (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{y}{- 1 - x} + \frac{- 3}{- 1 - x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 - x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{y}{- 1 - x} + \frac{- 3}{- 1 - x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{- 1 - x} + \frac{- 3}{- 1 - x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y - 3}{- 1 - x}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{y - 3}{- 1 (1) - x}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{y - 3}{- 1 (1) - (x)}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (x)$ heraus.

$y' = \frac{y - 3}{- 1 (1 + x)}$

Schritt 5.3.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y - 3}{1 + x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 3}{1 + x}$