Analysis Beispiele

\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}) d x

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Schritt 3

Sei

u_{1} = x + 1

$u_{1} = x + 1$ . Dann ist

d u_{1} = d x

$d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von

u_{1}

$u_{1}$ und

d

$d$

u_{1}

$u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Es sei

u_{1} = x + 1

$u_{1} = x + 1$ . Ermittle

\frac{d u_{1}}{d x}

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Differenziere

x + 1

$x + 1$ .

\frac{d}{d x} [x + 1]

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x + 1

$x + 1$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [1]

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.4

1

$1$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

1

$1$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für

x

$x$ in

u_{1} = x + 1

$u_{1} = x + 1$ ein.

u_{lower} = 0 + 1

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 3.3

Addiere

0

$0$ und

1

$1$ .

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für

x

$x$ in

u_{1} = x + 1

$u_{1} = x + 1$ ein.

u_{upper} = 1 + 1

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 3.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Schritt 3.6

Die für

u_{lower}

$u_{lower}$ und

u_{upper}

$u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von

u_{1}

$u_{1}$ ,

d u_{1}

$d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Schritt 4

Das Integral von

\frac{1}{u_{1}}

$\frac{1}{u_{1}}$ nach

u_{1}

$u_{1}$ ist

\ln (| u_{1} |)

$\ln (| u_{1} |)$ .

\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Schritt 5

Sei

u_{2} = x + 4

$u_{2} = x + 4$ . Dann ist

d u_{2} = d x

$d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von

u_{2}

$u_{2}$ und

d

$d$

u_{2}

$u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei

u_{2} = x + 4

$u_{2} = x + 4$ . Ermittle

\frac{d u_{2}}{d x}

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere

x + 4

$x + 4$ .

\frac{d}{d x} [x + 4]

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x + 4

$x + 4$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [4]

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 5.1.4

4

$4$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

4

$4$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für

x

$x$ in

u_{2} = x + 4

$u_{2} = x + 4$ ein.

u_{lower} = 0 + 4

$u_{lower} = 0 + 4$

Schritt 5.3

Addiere

0

$0$ und

4

$4$ .

u_{lower} = 4

$u_{lower} = 4$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für

x

$x$ in

u_{2} = x + 4

$u_{2} = x + 4$ ein.

u_{upper} = 1 + 4

$u_{upper} = 1 + 4$

Schritt 5.5

Addiere

1

$1$ und

4

$4$ .

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

Schritt 5.6

Die für

u_{lower}

$u_{lower}$ und

u_{upper}

$u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

u_{lower} = 4

$u_{lower} = 4$

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von

u_{2}

$u_{2}$ ,

d u_{2}

$d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe

{u_{2}}^{2}

${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit

- 1

$- 1$ .

\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in

{({u_{2}}^{2})}^{- 1}

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von

{u_{2}}^{- 2}

${u_{2}}^{- 2}$ nach

u_{2}

$u_{2}$ gleich

- {u_{2}}^{- 1}

$- {u_{2}}^{- 1}$ .

\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne

\ln (| u_{1} |)

$\ln (| u_{1} |)$ bei

2

$2$ und

1

$1$ .

(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

Schritt 8.2

Berechne

- {u_{2}}^{- 1}

$- {u_{2}}^{- 1}$ bei

5

$5$ und

4

$4$ .

(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + (- 5^{- 1}) + 4^{- 1}

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + (- 5^{- 1}) + 4^{- 1}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + 4^{- 1}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + 4^{- 1}$

Schritt 8.3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

Schritt 8.3.3

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 8.3.4

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.3.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von

20

$20$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von

1

$1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.5.1

Mutltipliziere

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.3.5.2

Mutltipliziere

5

$5$ mit

4

$4$ .

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.3.5.3

Mutltipliziere

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ mit

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}$

Schritt 8.3.5.4

Mutltipliziere

4

$4$ mit

5

$5$ .

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$

Schritt 8.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4 + 5}{20}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4 + 5}{20}$

Schritt 8.3.7

Addiere

- 4

$- 4$ und

5

$5$ .

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}$

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}$

\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}$

Schritt 9

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{1}{20}

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

2

$2$ ist

2

$2$ .

\ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{1}{20}

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

Schritt 10.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\ln (\frac{2}{1}) + \frac{1}{20}

$\ln (\frac{2}{1}) + \frac{1}{20}$

Schritt 10.3

Dividiere

2

$2$ durch

1

$1$ .

\ln (2) + \frac{1}{20}

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

\ln (2) + \frac{1}{20}

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

\ln (2) + \frac{1}{20}

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

Dezimalform:

0.74314718 \dots

$0.74314718 \dots$

Schritt 12