Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{\sin (3 x) - 3 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Schritt 1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

Schritt 1.3.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0) - 3 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0) - 3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0) - 3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.6.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

Schritt 1.3.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{\sin (3 x) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{- x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.3.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.5

Addiere $- e^{- x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (3 x) - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Schritt 3.7.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.7.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.7.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3 \cdot 1}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3}$

Schritt 3.9

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 + 3 \cos (3 x)}$

Schritt 4

Since the numerator is negative and the denominator $- 3 + 3 \cos (3 x)$ approaches zero and is less than zero for $x$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$