Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x {(3 x + 4)}^{2}$

Schritt 1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x {(3 x + 4)}^{2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{2}$ annähert.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to - \frac{1}{2}} {(3 x + 4)}^{2}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(3 x + 4)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} 3 x + 4)}^{2}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{2}$ annähert.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} 3 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4)}^{2}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4)}^{2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{1}{2}$ annähert.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 4)}^{2}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) \cdot {(3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 4)}^{2}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ für $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$4 (\frac{- 1}{2}) \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{- 1}{2} \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Schritt 8.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Schritt 8.1.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot - 1 \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere $3 (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 8.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 2 \cdot {(- 3 (\frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Schritt 8.3.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \cdot {(\frac{- 3}{2} + 4)}^{2}$

Schritt 8.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 \cdot {(- \frac{3}{2} + 4)}^{2}$

Schritt 8.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \cdot {(- \frac{3}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Schritt 8.5

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \cdot {(- \frac{3}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}^{2}$

Schritt 8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 \cdot {(\frac{- 3 + 4 \cdot 2}{2})}^{2}$

Schritt 8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- 2 \cdot {(\frac{- 3 + 8}{2})}^{2}$

Schritt 8.7.2

Addiere $- 3$ und $8$ .

$- 2 \cdot {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 8.8

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$- 2 \cdot \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 8.9

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- 2 \cdot \frac{25}{2^{2}}$

Schritt 8.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \cdot \frac{25}{4}$

Schritt 8.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \cdot \frac{25}{4}$

Schritt 8.11.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot - 1 \cdot \frac{25}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \cdot \frac{25}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.11.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot \frac{25}{2}$

Schritt 8.12

Schreibe $- 1 (\frac{25}{2})$ als $- (\frac{25}{2})$ um.

$- \frac{25}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{25}{2}$

Dezimalform:

$- 12.5$