Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 15 e^{- 5 x}}{\frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Schritt 1.4

Ziehe den Term $15$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 - 15 lim_{x \to \infty} e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Schritt 2

Da der Exponent $- 5 x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- 5 x}$ $0$ an.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{5}{x})}$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})}$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - 15 \cdot 0$ und $0 + 4 \cos (5 \cdot 0)$ .

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Schritt 7.1.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{- 1 (- 2) - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 \cdot 0$ heraus.

$\frac{- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 2 + 15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \cos (5 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))}$

Schritt 7.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

Schritt 7.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

Schritt 7.1.6.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 15)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $15$ .

$\frac{- 1 (- 1 + 0)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (0)}$

Schritt 7.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2}$

Schritt 7.3.4

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2}$